Värderingsalternativ kan vara en knepig affär. Tänk på följande scenario: I januari 2015 handlades IBM-aktien till $ 155 och du förväntade dig att den skulle gå högre under nästa år. Du tänker köpa ett köpoption på IBM-aktien med ett ATM-strejkpris på $ 155, och förväntar dig att dra nytta av hög procentuell avkastning, baserat på en liten optionskostnad (optionskurs), jämfört med aktieköp med högt köppris.
Vad ska vara det verkliga värdet av detta samtalalternativ på IBM?
Idag finns ett par olika färdiga metoder tillgängliga för värdealternativ - inklusive Black-Scholes-modellen och binomialträdmodellen - som kan ge snabba svar. Men vilka är de bakomliggande faktorerna och drivkrafterna för att komma fram till sådana värderingsmodeller? Kan något liknande förberedas utifrån konceptet med dessa modeller?
Här täcker vi byggstenar, underliggande koncept och de faktorer som kan användas som ramverk för att bygga en värderingsmodell för en tillgång som optioner, vilket ger en jämförelse sida vid sida till ursprunget till Black-Scholes (BS)) modell.
The World Before Black-Scholes
Före Black-Scholes följdes den jämviktsbaserade kapitalförvaltningsmodellen (CAPM) i stor utsträckning. Avkastningen och riskerna var balanserade med varandra, baserat på investerarnas preferenser, dvs en högt risktagande investerare förväntades kompenseras med (potentialen) högre avkastning i en liknande andel.
BS-modellen hittar sina rötter i CAPM. Enligt Fisher Black: "Jag använde Capital Asset Pricing Model på varje ögonblick i en teckningsoptions liv, för alla möjliga aktiekurser och teckningsvärden." Tyvärr kunde CAPM inte uppfylla kravet på teckningsoptioner.
Black-Scholes förblir den första modellen, baserad på begreppet arbitrage, vilket gör ett paradigmskifte från riskbaserade modeller (som CAPM). Denna nya BS-modellutveckling ersatte CAPM-avkastningskonceptet med erkännandet av att en perfekt säkrad position kommer att få en riskfri ränta. Detta tog ut risk- och avkastningsvariationerna och fastställde begreppet arbitrage där värderingar utförs på antaganden om riskneutralt koncept - en säkrad (riskfri) position bör leda till en riskfri avkastning.
Utvecklingen av Black-Scholes
Låt oss börja med att etablera problemet, kvantifiera det och utveckla en ram för dess lösning. Vi fortsätter med vårt exempel på värdering av ATM-samtalalternativet på IBM med ett strejkpris på $ 155 med ett år att löpa ut.
Med utgångspunkt i den grundläggande definitionen av ett call option, såvida inte aktiekursen träffar strejkprisnivån, förblir vinsten noll. Efter denna nivå ökar utbetalningen linjärt (dvs. en ökning med en dollar i det underliggande kommer att ge en utbetalning på 1 dollar från samtalet).
Förutsatt att köparen och säljaren enas om rättvis värdering (inklusive nollpris) kommer det teoretiska verkliga priset för detta samtal att vara:
- Kursoptionspris = $ 0, om underliggande <strejk (röd graf) Kalloptionspris = (underliggande - strejk), om underliggande> = strejk (blå graf)
Detta representerar alternativets intrinsiska värde och ser perfekt ut ur en köpare av en köpoptionssynpunkt. I den röda regionen har både köparen och säljaren en rättvis värdering (nollpris till säljaren, noll utbetalning till köparen). Värderingsutmaningen börjar dock med den blå regionen, eftersom köparen har fördelen med en positiv vinst, medan säljaren lider av en förlust (förutsatt att det underliggande priset överstiger strejkpriset). Det är här som köparen har en fördel gentemot säljaren med nollpris. Prissättningen måste vara icke-noll för att kompensera säljaren för den risk han tar.
I det tidigare fallet (röd graf) mottas teoretiskt sett nollpris av säljaren och det finns nollpotential för köparen (rättvist för båda). I det senare fallet (blå graf) ska skillnaden mellan underliggande och strejk betalas av säljaren till köparen. Säljarens risk sträcker sig över hela ett år. Till exempel kan det underliggande aktiekursen röra sig mycket högt (säga till $ 200 på fyra månader) och säljaren måste betala köparen skillnaden på 45 $.
Således kokar det ner till:
- Kommer det underliggande priset att gå över strejkpriset? Om det gör det, hur högt kan det underliggande priset gå (eftersom det kommer att avgöra utbetalningen till köparen)?
Detta indikerar den stora risk som säljaren tar, vilket leder till frågan - varför skulle någon sälja ett sådant samtal om de inte får något för den risk de tar?
Vårt mål är att nå ett enda pris som säljaren ska debitera köparen, vilket kan kompensera honom för den totala risken han tar under ett års tid - både i nollbetalningsregionen (röd) och den linjära betalningsregionen (blå). Priset ska vara rättvist och acceptabelt för både köpare och säljare. Om inte, kommer den som är i nackdel när det gäller att betala eller erhålla orättvist pris inte att delta i marknaden och därmed besegra syftet med handelsverksamheten. Black-Scholes-modellen syftar till att fastställa detta rättvisa pris genom att överväga konstant prisvariation på aktien, pengarnas tidsvärde, alternativets strejkpris och tiden till optionens utgång. Liksom BS-modellen, låt oss se hur vi kan närma oss för att utvärdera detta för vårt exempel med våra egna metoder.
Hur utvärderar det inre värdet i blå region?
Ett par metoder finns tillgängliga för att förutsäga den förväntade prisrörelsen i framtiden under en viss tidsram:
- Man kan analysera liknande prisrörelser av samma varaktighet under det senaste. Det historiska IBM-slutpriset indikerar att priset under ett år (2 januari 2014 till 31 december 2014) sjönk till 160, 44 dollar från 185, 53 dollar, en nedgång på 13, 5%. Kan vi avsluta en prisförändring på -13, 5% för IBM? En ytterligare detaljerad kontroll indikerar att den rörde en årlig höjd av 199, 21 $ (den 10 april 2014) och en årlig lågpris på 150, 5 $ (den 16 december 2014). Baserat på startdagen den 2 januari 2014 och slutpriset på 185, 53 $ varierar den procentuella förändringen från + 7, 37% till -18, 88%. Nu ser variationskedjan mycket bredare ut jämfört med den tidigare beräknade nedgången på 13, 5%.
Liknande analys och observationer av historiska data kan genomföras. För att fortsätta vår prissättningsmodellutveckling, låt oss anta denna enkla metod för att mäta framtida prisvariationer.
Antag att IBM stiger 10% varje år (baserat på de senaste 20 års historiska uppgifterna). Basstatistik indikerar att sannolikheten för att IBM-aktiekursförändringen svävar runt + 10% kommer att vara mycket högre än sannolikheten för att IBM-priset stiger 20% eller sjunker 30%, förutsatt att historiska mönster upprepas. Genom att samla liknande historiska datapunkter med sannolikhetsvärden, kan en total förväntad avkastning på IBMs aktiekurs inom ett års tidsram beräknas som ett vägt genomsnitt av sannolikheter och tillhörande avkastning. Anta till exempel att IBMs historiska prisdata indikerar följande drag:
- (-10%) i 25% gånger, + 10% i 35% gånger, + 15% i 20% gånger, + 20% i 10% gånger, + 25% i 5% gånger och (-15%) i 5% gånger.
Därför kommer det vägda genomsnittet (eller det förväntade värdet) till:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Det innebär att priset på IBM-aktien i genomsnitt förväntas återgå + 6, 5% på ett års tid för varje dollar. Om någon köper IBM-aktien med ett års horisont och ett köppris på $ 155, kan man förvänta sig en nettoavkastning på 155 * 6, 5% = $ 10.075.
Detta är emellertid för aktiens avkastning. Vi måste leta efter liknande förväntade avkastningar för samtalsalternativet.
Baserat på nollutbetalning av samtalet under strejkpriset (befintligt $ 155 - ATM-samtal) kommer alla negativa rörelser att generera nollutbetalningar, medan alla positiva drag över strejkpriset kommer att generera motsvarande vinst. Den förväntade avkastningen för samtalsalternativet blir således:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Det vill säga att för varje $ 100 som investeras i att köpa detta alternativ kan man förvänta sig $ 9, 75 (baserat på ovanstående antaganden).
Detta förblir emellertid fortfarande begränsat till den verkliga värderingen av det inre beloppet av optionen och fångar inte korrekt upp risken som optionssäljaren bär för de höga gungorna som kan inträffa under tiden (i fallet med ovan nämnda intrayear hög och låg priser). Utöver det inre värdet, vilket pris kan överenskommas av köparen och säljaren så att säljaren är rättvist kompenserad för den risk han tar över ett års tidsram?
Dessa gungor kan variera mycket och säljaren kan ha sin egen tolkning av hur mycket han vill kompenseras för det. Black-Scholes-modellen antar alternativ av europeisk typ, dvs. ingen övning före utgångsdatumet. Således förblir den inte påverkad av mellanliggande prissvingningar och baserar sin värdering på handelsdagar från slutet till slut.
Vid handel med verkliga dagar spelar denna volatilitet en viktig roll vid fastställandet av optionskurser. Den blå utbetalningsfunktionen som vi vanligtvis ser är faktiskt utbetalningen vid utgångsdatum. Realistiskt är optionskursen (rosa graf) alltid högre än utdelningen (blå graf), vilket indikerar det pris som säljaren har tagit för att kompensera för hans risktagande förmågor. Detta är anledningen till att optionskursen också kallas alternativet "premium" - vilket väsentligt indikerar riskpremien.
Detta kan inkluderas i vår värderingsmodell, beroende på hur mycket volatilitet som förväntas i aktiekursen och hur mycket förväntat värde som skulle ge.
Black-Scholes-modellen gör det effektivt (naturligtvis inom sina egna antaganden) enligt följande:
C = S x N (d1) -X × e-RTN (d2)
BS-modellen antar lognormal fördelning av aktiekursrörelser, vilket motiverar användningen av N (d1) och N (d2).
- I den första delen anger S aktiens nuvarande pris. N (d1) anger sannolikheten för den aktuella kursrörelsen för aktier.
Om detta alternativ går in i pengarna så att köparen kan utnyttja detta alternativ, kommer han att få en andel av den underliggande IBM-aktien. Om näringsidkaren utövar det idag representerar S * N (d1) dagens förväntade värde på alternativet.
I den andra delen anger X strejkpriset.
- N (d2) representerar sannolikheten för att aktiekursen ligger över strejkpriset. Så X * N (d2) representerar det förväntade värdet på aktiekursen som ligger kvar över strejkursen.
Eftersom Black-Scholes-modellen antar alternativ i europeisk stil där träning endast är möjlig i slutet, bör det förväntade värdet som representeras ovan av X * N (d2) diskonteras för pengarnas tidsvärde. Därför multipliceras den sista delen med exponentiell term som höjs till räntesatsen under tidsperioden.
Nettodifferensen för de två termerna indikerar prisvärdet för optionen idag (varvid den andra terminen är diskonterad)
I våra ramar kan sådana prisrörelser inkluderas mer exakt på flera sätt:
- Ytterligare förfining av beräknade avkastningsberäkningar genom att utöka intervallet till finare intervaller för att inkludera intradag / intrayära prisförändringar. Inkludera dagens marknadsdata, eftersom det återspeglar dagens aktivitet (liknande implicit volatilitet). Förväntad avkastning på utgångsdatumet, vilket kan diskonteras tillbaka till idag för realistiska värderingar och minskas ytterligare från dagens värde
Således ser vi att det inte finns någon gräns för antaganden, metoder och anpassning som ska väljas för kvantitativ analys. Beroende på tillgången som ska handlas eller investeringar som ska beaktas kan en egenutvecklad modell arbetas med. Det är viktigt att notera att volatiliteten i prisrörelserna för olika tillgångsslag varierar mycket - aktier har volatilitet skev, forex har volatilitet rynka - och användare bör integrera tillämpliga volatilitetsmönster i sina modeller. Antaganden och nackdelarna är en integrerad del av vilken modell som helst och kunnig tillämpning av modeller i verkliga scenarier för handel kan ge bättre resultat.
Poängen
Med komplexa tillgångar som kommer in på marknaderna eller till och med vanliga vaniljstillgångar som går in i komplexa former av handel, blir kvantitativ modellering och analys obligatorisk för värdering. Tyvärr kommer ingen matematisk modell utan en uppsättning nackdelar och antaganden. Det bästa tillvägagångssättet är att minimera antagandena och vara medveten om de underförstådda nackdelarna, som kan hjälpa till att rita linjerna för modellernas användning och användbarhet.
