Även om du inte känner till den binomiala distributionen efter namn och aldrig har tagit en avancerad klass för högskolestatistik, förstår du inneboende det. Det gör du verkligen. Det är ett sätt att bedöma sannolikheten för att en diskret händelse antingen händer eller inte inträffar. Och det finns många applikationer inom finans. Så här fungerar det:
Du börjar med att försöka något - myntvänd, gratiskast, roulettehjulspinn, vad som helst. Den enda kvalificeringen är att det aktuella måste ha exakt två möjliga resultat. Framgång eller misslyckande, det är det. (Ja, ett roulettehjul har 38 möjliga resultat. Men ur spelarens synvinkel finns det bara två. Du kommer antingen att vinna eller förlora.)
Vi använder fria kast för vårt exempel, eftersom de är lite mer intressanta än de exakta och oföränderliga 50% chansen för ett mynt landande huvuden. Säg att du är Dirk Nowitzki från Dallas Mavericks, som slog 89, 9% av sina frikast förra året. Vi kommer att kalla det 90% för våra ändamål. Om du skulle sätta honom på linjen just nu, vad är chansen att honom slår (minst) 9 av 10?
Nej, de är inte 100%. De är inte heller 90%.
De är 74%, tro det eller inte. Här är formeln. Vi är alla vuxna här, det finns ingen anledning att vara rädd för exponenter och grekiska bokstäver:
n är antalet försök. I det här fallet 10.
i är antalet framgångar, som är antingen 9 eller 10. Vi beräknar sannolikheten för varje, lägg sedan till dem.
p är sannolikheten för framgång för varje enskild händelse, vilket är 0, 9.
Chansen att nå målet, det vill säga binomial fördelning av framgångar och misslyckanden, är denna:
i = 0Σk (ni) pi (1-p) ni
Åtgärd matematik notation, om du behöver termerna i det uttrycket uppdelas ytterligare:
(Ni) = (ni)! I! N!
Det är den "binomialen" i binomialfördelningen: dvs. två termer. Vi är intresserade inte bara för antalet framgångar, inte bara antalet försök, utan för båda. Var och en är värdelös för oss utan den andra.
Mer korrigerande matematiknotation:! är faktorial: multiplicera ett positivt heltal med varje mindre positivt heltal. Till exempel, 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Anslut siffrorna, kom ihåg att vi måste lösa för både 9 av 10 frikast och 10 av 10, så får vi
(9 1!! 10! ×.9.9 ×.1.1) + (10! 10! × 0, 91 × 0, 10)
= 0.387420489 (vilket är chansen att träffa nio) + 0.3486784401 (chansen att slå alla tio)
= 0, 736098929
Detta är den kumulativa fördelningen, i motsats till bara sannolikhetsfördelningen . Den kumulativa fördelningen är summan av flera sannolikhetsfördelningar (i vårt fall skulle det vara två.) Den kumulativa fördelningen beräknar chansen att träffa ett antal värden - här, 9 eller 10 av 10 frikast - istället för ett enda värde. När vi frågar vad chanserna för att Nowitzki slår 9 av 10 är, bör det förstås att vi menar "9 eller bättre av 10", inte "exakt 9 av 10."
Så vad har detta att göra med finans? Mer än du kanske tror. Låt oss säga att du är en bank, en långivare, som inom tre decimaler vet sannolikheten för att en viss låntagare kommer att misslyckas. Vilka är chansen för att så många låntagare inte betalar banken insolvent? När du använder den kumulativa binomialfördelningsfunktionen för att beräkna det antalet har du en bättre uppfattning om hur du prissätter försäkringar och i slutändan hur mycket pengar du ska låna och hur mycket du ska ha i reserven.
Har du någonsin undrat hur alternativens initialpriser bestäms? Samma sak. Om en volatil underliggande aktie har en chans att träffa ett visst pris kan du titta på hur aktien rör sig över en serie av n perioder för att bestämma vilket pris optionerna borde sälja till. (Redo för mer avancerade handelstekniker? Kolla in Investopedias artikel om strategier för användning av tekniska indikatorer.)
Att tillämpa den binomiala distributionsfunktionen på finansiering ger några överraskande, om inte helt motintuitiva resultat; ungefär som chansen att en 90% frikastskyttare träffar 90% av sina frikast är något mindre än 90%. Antag att du har en säkerhet som har lika stor chans att få 20% vinst som 20% förlust. Om säkerhetens pris skulle sjunka 20%, vilka är chansen att det kommer att återgå till dess ursprungliga nivå? Kom ihåg att en enkel motsvarande vinst på 20% inte kommer att sänka den: En aktie som faller 20% och sedan får 20% kommer fortfarande att ligga ner 4%. Fortsätt växlande 20% fall och vinster, och så småningom kommer aktien att vara värdelös.
Poängen
Analytiker med ett grepp om binomialfördelningen har en extra kvalitetsuppsättning verktyg till hands vid fastställande av prissättning, bedömning av risk och undvikande av de obehagliga resultaten än vad som kan uppstå från otillräcklig förberedelse. När du förstår binomialfördelningen och dess ofta överraskande resultat kommer du att ligga långt före massorna.
